新航道解密SAT数学余数定理+因子定理
2017/4/28 14:47:30来源：互联网作者：上海新航道
摘要：中国数学的难度相比较于美国难很多，所以在SAT没改革前，SAT数学满分考生比比皆是。进入新SAT时代后，从原来的33%提升到50%，从新SAT考试成绩的数据统计中不难发现能到800分的考生是非常罕见的，780分以上的也是寥寥无几，大部分都集中在700—750之间。是什么原因造成这个看似简单却拿不到最高分的考试呢?要想考到一个好的分数，除了日积月累的做练习题补充基础，还要学会一些考试的技巧和解题的方
中国数学的难度相比较于美国难很多，所以在SAT没改革前，SAT数学满分考生比比皆是。进入新SAT时代后，从原来的33%提升到50%，从新SAT考试成绩的数据统计中不难发现能到800分的考生是非常罕见的，780分以上的也是寥寥无几，大部分都集中在700—750之间。是什么原因造成这个看似简单却拿不到最高分的考试呢?要想考到一个好的分数，除了日积月累的做练习题补充基础，还要学会一些考试的技巧和解题的方法才能有所突破，今天新航道SAT小编带来的分享或许能助攻你的数学800。
很多同学发现未必能在考试中考到满意的分数，归根结底是两个原因：一是大量的文字信息题省查不到位，不能准确定位考点;二是做题方法不到位，导致简单题目耗时过多，最终得不偿失。
Remainder theorem and factor theorem 就是贯穿在SAT, ACT , SAT 2 数学当中一个非常重要的知识点，今天我们且来对这一知识点进行大解密。
Remainder theorem and factor theorem 余数定理和因子定理
If f(x)/(x-a) = g(x) with remainder r(x), then f(x) = (x- a)g(x) + r(x)
f(a) = (a-a)g(a) + r(a) = r(a) remainder
代入 x= a, f(a) = remainder
In particular, when x-a is a divisor/factor of f(x) if and only if f(a) = 0
先来看一题OG中的题目
For a polynomial p(x), the value of p(3) is ?2. Which of the following must be true aboutp(x) ?
A) x?5 is a factor of p(x).
B) x?2 is a factor of p(x).
C) x+2 is a factor of p(x).
D) The remainder when p(x) is divided by x?3 is ?2.
解析: 多项式p(x)， 代入 x= 3不为0，表明 x= 3 不是方程的根，x-3不是方程的因子，应符合余数定理，表明p(x) divided by x- 3，cannot be divisible, the remainder is -2. 正确选项为 D
因子定理是余数定理的一个特例，相当于余数为 0
三种说法：
1. if x - a is a factor of f(x)
2. if f(x) is divisible by x - a
3. if f(x) divided by x+ a has no remainder
f(x) = (x - a)g(x)
f(a) = 0
再来一个例题：
The polynomial f(x) = x^3 + ax^2 + bx +2 isdivisible by (x+1) and by (x-2).
Find the value of a and of b, where
大部分同学可能会想尝试国际学校的Long division method，也就是长除法。Of course you can, but it just kind of waste of time \@@/
Now let’s try a different method
divisible意味着可以整除，x + 1 和 x-2是多项式的因子，f(x)可以因式分解变成 f(x) = x^3 + ax^2 + bx +c = (x+1)(x+2)g(x)
? x = -1 时，代入原式， f(-1) = 0
f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2+ b(-1) + 2 = 0 化简得 a –b +1 = 0
? x=2 时，代入原式，f(2) = 2^3+2^2a+2b+2=0化简得10 + 4a +2b= 0
解方程组
a –b +1 = 0
10 + 4a +2b= 0 得 a = -2, b=-1
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